纷繁多少象（项），都入费曼图

如果说物理学是用图像来思考，用数学来表达的一门学问，那么费曼终其一生，都是特别强调图像思考的重要性的。费曼其人，也经历了多彩的一生，欲了解其生平及成就，可订阅湖南科学技术出版社编译的《永远的费曼》系列丛书。本文则讲述了费曼在量子电动力学的图像描述方面所做的原创性工作。

自然厌恶真空。——亚里士多德

物理学厌恶无穷。——笔者

如果说十九世纪以柯西（Augustin Louis Cauchy，1789-1857）和维尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815-1897）为代表的数学家在数学分析方面的工作结束了无穷概念在数学中勾起的噩梦的话，那么无穷对于20世纪的物理学家来说恐怕只是噩梦的开始。我们若是换一种宏观思路来粗线条地概括20世纪物理学，则可以说将无穷有限化是20世纪物理学的一个主脉络。相对论的确立把超距作用（action-at-a-distance）剔除出去，解决了（电磁和引力）相互作用并非无穷快（瞬时）传播的问题，而量子论的建立引入量子化条件则是应对电磁能量的单元（准确来说是作用量，action）并非无穷小的问题。普朗克常数h并非无穷小，光速c并非无穷大，这是量子论和相对论与经典物理的脱卯处，而非接榫的地方（我们经常会听到或读到h趋于无穷小或c趋于无穷大的话，这种话有其历史渊源，但似乎没有多少物理内涵）。

然而，两大现代物理学支柱在20世纪30年代以前的树立并非就使得后来物理学家的工作一劳永逸。以二战为分界线，后来的物理学家还要不断地与无穷的问题作顽强的斗争，只是他们处理这一问题的思路和方式已与战前的主流有了很大差别。二战以前，在物理学的主流里，欧洲的哲学思辨风格处处弥漫。而亲历了二战各种战备（争）工作成长起来的一批（美国）物理学家，“get the numbers out”是他们的普遍态度。“Shut up and calculate”虽然不是本文主人公费曼的话（David Mermin曾撰文指出该话出自Mermin本人），却代表了费曼这一代美国本土物理学家的研究风格。

20世纪实验物理学的主线条可以用一个关键词来概括：散射。基础物理学家的主要工作就是考察和解析入射粒子与靶（或另一束入射粒子）发生碰撞后的散射产物和方式。而描述入射和出射行为的自然的数学工具是散射矩阵，对应的比较直接的物理量则是散射振幅。理论物理学家需要做的，便是给出散射矩阵或者散射振幅的解析表达。在此，他们再次遇到了无穷（发散）的问题。

在狄拉克于1928年提出描述电子行为的相对论性量子力学方程并于1930年提出空穴理论来解释方程的负能量解之后，我们似乎已经有了建立完备的量子电动力学的信心。然而三个问题的出现使物理学家的信心遭受挫折，它们分别是：真空极化，电子自能和电子磁矩。当时处理这三个问题的基本思路是大致一样的，即对电子的电荷、质量和磁矩分别做一修正，即则三个问题便可以以微扰的方式得到解决。然而，计算得到的是修正项为无穷大而非有限的结果。当然，可以通过截断散射振幅表达式中的积分上（下）限来得到有限结果，但这会破坏计算的相对论不变性。

费曼是如何看待和处理这一问题的？他采取了一种不同于量子场论中惯用的二次量子化的思路（实际上对费曼方法进行二次量子化改造是由Freeman Dyson完成的，Dyson证明了费曼理论与Schwinger、Tomonaga理论的等价性，并证明了任意阶的微扰展开都可以得到有限结果。有趣的是，Dyson的这一工作受益于与费曼一起长途旅行中的讨论，并且发表于费曼自己关于这一主题的文章之前）。如果说物理学是用图像来思考，用数学来表达的一门学问，那么费曼终其一生，都特别强调图像思考的重要性。费曼图便是从他的这一风格中自然而然地衍生出来的。

费曼图的原始文本形式出现在费曼1949年发表在Physical Review上的两篇经典论文The Theory of Positrons和Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics中。在此前1948年的Pocono会议上，费曼首次向听众展示了自己的方法，虽然费曼的方法能够得到与实验一致的结果，但是与会的物理学家（主要是战前即已成名的欧洲物理学家）并不买账。而在这两篇论文中，费曼的思路得到了完整的阐述。从粒子的视角出发，他沿用了其导师John Wheeler提出的将正电子视作逆时间运动的电子的建议（这一思想Stuckelberg亦于1942年提出过），先在非相对论量子力学的薛定谔方程的框架下采用格林函数的方法将方程的解写为：

格林函数K满足：

图1. 用顺时间方向运动和逆时间方向运动描述电子和正电子行为。Case I: 电子被散射。Case II：正电子被散射。Case III：电子-正电子湮灭。Case IV：电子-正电子产生

K包含了带电粒子运动的所有信息。假定粒子在有限的时空域内受到弱势场U(x,t)的影响，则K可以微扰展开为关于U的各阶函数：

经过一系列解析推导（细节参阅参考文献1），可以分别写出上述各项：

与此相类比，在相对论性量子力学的框架下传播函数满足方程：

其各项展开亦与（4）类似。

若有多个粒子参与，则函数K（或K+）中所包含的表示粒子时空坐标的参数增加，且需计入粒子交换所需满足的统计规律。

微扰表达式的各项（n）分别代表（n个）时空域中存在势场的情形。这可以直观地进行图像描述。反过来，由图像也可以直接写出传播函数的微扰表达式各项。这一思路也可以向多粒子的情形推广，如图2所示的包含两个电子的几种情形：

图2. 包含两个电子运动的几种情形

由此，费曼建立了粒子运动图像与散射振幅的解析表达式之间的直接关联，根据图像特征可以直接写出散射振幅的表达式，这在复杂的高阶微扰计算中体现出相当大的优势。例如电子的自能可以表示为图3的形式，同时传播函数的一阶微扰表达式为：

其中，

图3. 电子自能在实空间的图像表示

在动量-能量空间考察会使得问题得到简化。电子自能的费曼图在动量-能量空间表示为图4的形式，同时其表达式为：

图4. 电子自能在动量空间的图像表示

如费曼自己在文献2中所言，上述思路只是完成了对于传统量子电动力学的重新表达，并没有解决微扰修正却出现无穷大结果的问题。所以费曼图只是提供了简记散射振幅的微扰修正项的图像表示方法，它并没有帮助解决无穷的问题。

解决无穷的问题采取了这样一种思路，即在类似（7）的表达式中人为引入收敛因子，使得整个积分结果趋于收敛，在自能情形，收敛因子的形式为。这实际上是对k作了高频截断，这种人为操作便是重整化的思路。这种技术思路可以使得计算结果与实验结果相当好地匹配。而费曼图的使用又使得复杂的表达式得以直观地以图像形式展现。二者的结合使得量子电动力学在技术层面解除了无穷的困扰。

然而要指出的是，一方面费曼是从物理图像出发构造了后来以其名字命名的费曼图，另一方面，Dyson从数学严格性的角度对费曼图的拓扑几何特征提出了约束条件。费曼图后来的使用和扩展已经大大突破了其创立者所设定的藩篱，所以，可以这样说，一千个物理学家就有一千种不同的费曼图，每一张费曼图所包含的物理真实性和数学严格性的成分并不固定。

另外，虽然重整化的思路解决了量子电动力学面临的无穷的问题，然而对于坚守哲学原则的二十世纪早期的物理学家而言，重整化的思路不能令人满意的一个原因也许在于它不如狭义相对论的光速不变原理和量子力学的量子化条件那般优雅，但这至少代表了物理学在面对无穷问题时的一种努力。

费曼图的演化乃至量子电动力学的发展昭示我们，物理学从来也不是定于一鼎的学问，经得起修修补补才是它的魅力所在。可以设想，随着人类的探索之旅拓向极大或者极小的时空尺度，无穷所带来的无尽烦恼也会毕现。物理，当有直面的力量。

参考文献

[1] R. P. Feynman. The Theory of Positrons. Physical Review 76(6), 749–759 (1949).

[2] R. P. Feynman. Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics. Physical Review 76(6), 769–789 (1949).

[3] R. P. Feynman. Quantum Electrodynamics. Frontiers in Physics series, Addison-Wesley, (1961).

[4] A. Wüthrich. The Genesis of Feynman Diagrams. Springer, (2010).

[5] D. Kaiser. Drawing Theories Apart: The Dispersion of Feynman Diagrams in Postwar Physics. The University of Chicago Press, (2005).

[6] S. S. Schweber. QED and the Men Who Made It: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga. Princeton: Princeton University Press, (1994).

备注：文中使用了费曼在其1949年的两篇论文中使用的符号和图像表示。

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