芝诺的悖论是怎么回事呢他的逻辑错在哪里

芝诺的悖论是怎么回事呢他的逻辑错在哪里

我们在平时阅读或聊天中偶尔会碰到一个词——“悖论”。那到底什么是悖论呢?悖论是怎么发生的呢?我们应该怎么破破解遇到的悖论呢?

百度百科对“悖论”给出的定义是：悖论指的是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。

简单说就是一句自相矛盾的话，或一段自相矛盾的论证。

这样仅给出定义好像还是很难直观地理解悖论，那我们今天就以历史上最著名的悖论——芝诺悖论为例，好好体会一下悖论到底“悖”在哪里。

先简单介绍一下芝诺吧，芝诺生活于公元前5世纪，是著名的数学家和哲学家，他的家乡在意大利半岛一个叫埃利亚的地方，古希腊哲学中有一个很著名的哲学学派就叫埃利亚学派。芝诺和他的老师巴门尼德都属于其中的代表人物，他们的观点粗暴点儿理解就是唯心主义，他们认为世界是一个不可分割的、没有空隙的整体，既然如此，世界万物就不能运动(因为没有闲余空间)。总之这个学派否认多样化，否认运动变化。

之所以费这么多口舌介绍埃利亚学派的基本观点，是因为今天要介绍的芝诺悖论就是为维护这些观点而提出的。

据说芝诺一共提出过四十多个悖论，但最著名的是四个，而今天我们只选择其中最耳熟能详的两个介绍给大家。

其中一个叫“阿基琉斯追不上乌龟”。阿基琉斯是古希腊非常著名的运动员，擅长跑步，而乌龟又是速度很慢的动物。如果让阿基琉斯落后乌龟一百米，然后追赶乌龟(假设乌龟的速度是0.1m/s,阿基琉斯比乌龟快100倍，是10m/s)，会怎么样呢?我们一定认为这不费吹灰之力，阿基琉斯一定会很快追上。

但是，芝诺认为阿基琉斯永远追不上乌龟，理由是：假如刚出发的时候，阿基琉斯在A点，乌龟在B点。经过一段时间之后他赶到了B点，而乌龟却也往前走了一段——比如到达了C点;阿基琉斯又从B点开始追，等到赶到C点时，乌龟又往前走了一段，到了D点……总之，阿基琉斯每赶到乌龟之前的落脚点，乌龟就已经往前走了一段，虽然它们之间的距离永远在缩小，但他永远追不上乌龟!

看到这里，很多同学会马上反驳说：二者之间的距离在不断缩小，就一定会在某个时刻缩小为零，那个时候就赶上了呀?!但是我们注意，这个思想实验之所以可怕，就在于它没有设定二者距离为零的情况，它们的差距可以被演绎到无限缩小，但永远不能为零。因为乌龟在不停的运动，这意味着，不管时间多短，乌龟都会离开阿基琉斯之前定下的的目标往前移动一点点!

是不是很抓狂?

还有更抓狂的——“飞矢不动”。我们都知道，射出去的箭在飞行过程中是一直处于运动状态的。 但是芝诺提醒我们，如果把飞行的这段时间分成无数个瞬间，我们发现这支箭在每个瞬间都有一个固定的位置——如果我们用摄像机拍下整段视频，我们发现这段视频可以分成无数帧，而且每一帧中(也就是每一瞬间中)，这支箭都是静止不动的。既然箭在这个过程中的每一个瞬间都没有动，那么整段时间中，这支箭也根本就没动!

有没有觉得这两个悖论很讨厌?它们讨厌在哪里呢?它们的讨厌之处就在于用看似无懈可击的逻辑理性演绎出了违背常识的结论。这两个违背常识的结论都是在否认运动。这就是上文提到的，在维护埃利亚学派的基本观点。

那么针对悖论，我们怎样才能给予专业、痛快的反驳呢?

这个时候切忌轻率地用自己的思维自说自话式的“解决”它，比如对于“阿基琉斯悖论”，我们甚至可以计算出阿基琉斯可以在大约11秒左右赶上乌龟，但这不能算是反驳了这个悖论。芝诺本来是一位数学家，更是一位正常人，他肯定也知道阿基琉斯一定会追上乌龟，所以我们这么说是白搭。

那应该怎么办呢?面对悖论，不能指出或者强调它的事实错误，而是要跳到它的逻辑内部理解它，然后指出它的逻辑错误，并指出其是如何导致悖论的，说明白这些就相当于反驳了这个悖论。

我们先来看“阿基琉斯悖论”是怎样导致悲剧的：其实这个悖论模糊了一个概念——“无限”。“无限”作为一个事物的属性，描述的到底是这个事物的什么呢?也就是说，当我们说一个事物是“无限”的时候，我们指的是什么意思?这个悖论中的所谓“无限”，就是阿基琉斯在追上乌龟之前的这段空间距离(方便起见，这段距离为A-Z)可以无限分割成无限小的距离段。阿基琉斯并不是在努力跑向那个Z点，赶上乌龟，而是在完成乌龟留下的一个又一个越来越短的但又无限多的距离段。因为这些距离段有无限个，所以他永远也完成不了它们。

如果说有一段无限长的、只有起点没有终点的距离，那么阿基琉斯就是跑得再快，也是无法穷尽的。但是这个悖论里的“无限”，指的是对一个定值(线段A-Z)的无限分割，也就是说A-Z这段距离虽然是无限可分的，但是这些无限的部分加起来的总量却是一个定值，总长始终是A-Z，即这是一种“有限”的“无限”。换句话说，阿基琉斯追乌龟这件事的无限，只不过指的是在思维世界中(注意：是在思维世界中)，他要完成的步骤是无限多的;而在现实世界中，他只需要11秒就能完成此事。

再来看“飞矢不动”悖论：其实这个悖论也模糊了一个概念——“瞬间”。瞬间到底应该是一个极短但却有长度的“时间段”——就像线段——呢?还是一个没有长度——就像点——的“时刻”呢?一支箭飞行的过程是一大段有长度的时间段，所以它就算被分割的再细，其组成部分也应该是一段一段极小的时间段，而不是像点一样的“时刻”。时间段是运动发生的必要条件，每一场运动都必定发生在一段时间中(不管它有多短)。但在某一时刻中却不能谈运动，而只能谈位置。芝诺正是用“时刻”偷换了“瞬间”。

就这样，我们算是大致搞清楚了这两个悖论如何发生的原因，当然也就反驳了它们，他们的错误在于概念的混淆，或逻辑形式的混乱。

看到这里，大家可能会产生一个问题：历史上这些哲学家们制造这些悖论到底有什么意义呢?毕竟连他们自己也不会相信这些悖论啊!但其实这些悖论对于锻炼我们的思维，促进思想的发展有很重要的意义。就像头疼脑热的小病反而会锻炼我们的抵抗力一样，芝诺悖论和很多其他逻辑学上有趣的悖论一次又一次地提醒哲学家和逻辑学家们去反思自己的思维框架和习惯，人类就是在这种反思和检讨中战胜无聊、不断进步的，你说对吧?

芝诺悖论最后是怎么解决的？

当人类面对这深邃的宇宙开始思考一些问题的时候,他们就已经开始研究运动了,而运动的存在性问题是其中最为重要、也是最令人困惑的第一个问题.
　　表面上看来,运动的存在性是显然的,然而芝诺却最早以简单的论证“证明”了运动不可能存在,他也由于这一悖论式的证明而为后人所永远铭记.芝诺是古希腊时期爱利亚学派的主要成员,这个学派的基本思想是否认现实世界中的任何运动变化,认为它们只是真实存在的表面现象.芝诺为了证明他们的观点,第一个设想和论证了物体运动中存在的令人不安的困难.
　　芝诺的论证是这样的：你若想追上乌龟,你必须首先到达乌龟开始跑的位置,但当你到达乌龟开始跑的位置时,乌龟在这段时间里已经跑到前面去了,当你再想去追乌龟时,你面临同样的问题,即你仍必须首先要跑到乌龟此刻的位置,而等你跑到了乌龟又向前移动了.好,虽然你比乌龟跑得快,但你也只能按上述过程逐渐逼近乌龟,这样的过程将无限次地出现,而在每一阶段乌龟总在你前头.由于有限的你无法完成这无限个阶段,于是你永远也追不上乌龟.
　　“但是,我绝对可以追上乌龟!”你可能忍不住要争辩道.请别急,芝诺将进一步论证你根本就无法开始运动,更不用说追上乌龟了.你看,如果你想到达乌龟开始跑的位置,你就必须首先到达这段距离的中点,而你若想到达这个中点,你又必须首先到达这一半距离的中点,如此等等.由于这一二分过程可以无限地进行下去,而你无法完成无限个过程,于是你实际上都无法离开起点.
　　“但是,……”,你也许已陷入了沉思之中.是的,尽管芝诺的论证简单易懂,但是要找出其论证中的问题却并不容易.实际上,自从芝诺悖论提出以来,人们一直试图指出其中的错误所在,然而直到今天,仍然没有一个完全满意的解答.
　　一般认为,芝诺悖论由四个论证组成,它们是二分法、阿基里斯、飞矢不动和运动场.
　　芝诺首先假定时间和空间是连续的2,即假定运动是连续的.为了证明这种连续运动是不可能的,芝诺考察了两种情况,它们是孤立物体的连续运动情况和两个物体的相对连续运动情况.
　　对于孤立物体的连续运动情况,他提出了一种“二分法”证明.芝诺认为,任何一个物体要想从A点运动到B点,必须首先到达AB的中点C,而要到达C点,他又必须首先到达AC的中点D,同样,要到达D点,他又必须首先到达AD的中点,等等.由于时间和空间是连续的,这一二分过程总可以无限地进行下去,于是该物体实际上都无法离开A点,因此孤立物体的连续运动是不可能的.
　　对于两个物体的相对连续运动情况,芝诺提出了一个称为“阿基里斯”的证明.他说,阿基里斯若想追上乌龟,他必须首先到达乌龟开始跑的位置,但当他到达乌龟开始跑的位置时,乌龟在这段时间里已经跑到前面去了,当阿基里斯再想去追乌龟时,他面临同样的问题,即他仍必须首先要跑到乌龟此刻的位置,而等他跑到了乌龟又向前移动了.虽然阿基里斯比乌龟跑得快,但他也只能按上述过程逐渐逼近乌龟,这样的过程可以无限次地出现,在每一阶段乌龟总在他前头.由于阿基里斯无法完成这无限个阶段,于是他永远也追不上乌龟,从而两个物体的相对连续运动也是不可能的.
　　其次,芝诺假定时间和空间是分立的,即假定运动是间断的.为了证明这种间断运动也是不可能的,芝诺同样考察了两种情况,即孤立物体的间断运动情况和两个物体的相对间断运动情况.
　　对于孤立物体的间断运动情况,他提出了“飞矢不动”论证3.芝诺说,由于运动是位置的变动,而飞矢在任何一个时间单元（或时刻）都呆在一个位置上,即在任何时间单元（或时刻）它的位置都没有变化,于是任何一个时间单元（或时刻）的飞矢是不动的,因此飞矢是不动的.
　　对于两个物体的相对间断运动情况,芝诺提出了“运动场”论证.他假设有A、B、C三列物体,物体B、C相对于A的运动方向相反,并且每一时间单元物体B、C相对于A都运动一个空间单元.于是,在一个时间单元过后物体B、C之间相对移动了两个空间单元,从而物体B相对于C移动一个空间单元需要半个时间单元,而物体B相对于A移动一个空间单元却需要一个时间单元,于是一个时间单元将等于半个时间单元.这一结论明显是不成立的,因此两个物体的相对间断运动也是不可能的.
　　是的,芝诺的结论显然是不对的,每个清醒的人都知道.然而,他的论证却并不一定就是错误的,为什么呢?因为他是在一定假设的前提下证明你追不上乌龟的,而这些假设不一定都正确.芝诺的假设包括：时间和空间是连续的,运动也是连续的.尽管这些假设看起来似乎是显然的,但是现代科学却已经暗示了它们很可能并不是正确的.因此,如果芝诺的论证没有问题,那么2000多年前的他就已经证明了时间、空间和运动不可能都是连续的.这是一个惊人的结论,它完全违背我们的常识,但芝诺成功了吗?让我们再来看一看他的具体论证.
　　可以看出,芝诺论证的关键在于他认为物体无法经过无穷多个点或区间而在连续时空中完成运动,但是他的根据呢?仔细检查后你会发现,没有!难道这是一条十分明显的、不需要进一步说明的公理吗?或许初看起来我们也会认为物体无法经过无穷多个点或区间,但喜欢刨根问底的人还是想问问芝诺这是为什么.当然,芝诺是无法回答了,那就让我们来分析一下这个看法是否正确吧.
　　首先,我们必须弄清“完成”的含义.所谓“完成”是指过程的发生只需要有限的时间,它本质上是以时间概念为基础的.于是,问题成为：物体是否能够在有限时间内经过空间中的无穷多个点或区间?根据时间和空间的连续性假设,有限的空间含有无穷多个点或区间,而有限的时间同样含有无穷多个时刻或时间区间,并且它们可以形成一个一一对应关系.因此,原则上物体可以利用有限时间内的无穷多个时刻或时间区间来通过有限空间中的无穷多个点或区间,从而物体便可以自然地在有限时间内经过空间中的无穷多个点或区间了.于是,物体是可以（在连续时空中）经过无穷多个点或区间而完成运动的.看来,芝诺所依据的似乎明显正确的看法其实是错误的,他在强调空间连续性的同时却忽略了时间的连续性.
　　然而,为什么我们总有一种感觉,认为物体无法经过无穷多个点或区间呢?这个问题很重要,因为芝诺也许正是利用了这种感觉才让人们为他的论证所迷惑.为此,让我们回忆一下我们通常是如何来理解无穷的完成过程的.你会注意到,我们在理解无穷的完成时,总是不知不觉地要从心理上去追踪它的完成,如追踪物体经过无穷多个点或区间.然而,由于我们追踪物体经过任何一个点或区间都需要有限的时间,从而我们便无法追踪物体经过无穷多个点或区间,因为我们的追踪将需要无穷长的时间!但是,这并不妨碍物体自己经过无穷多个点或区间,毕竟,我们没有理由认为无法通过意识追踪的过程实际上也无法完成.　找到了困惑的根源,你一定有一种如释负重的感觉吧,看来理解运动问题其实并不难.是的,有时你离答案仅一步之遥,而跨过去你的思想就会海阔天空,关键在于你是否愿意多花一点时间来思考了.理解总是令人愉悦的!而理解之前的困惑同样是一种妙不可言的经历,它会帮助你真正认识自己,并让你成为一个有理性的、智慧的人.
　　现在,你一定确信并理解自己可以追上乌龟了,衷心地祝贺你.

“悖论”是什么意思？

“悖论”的意思是可以同时推导或证明两个互相矛盾的命题的命题或理论体系。

悖论根源于知性认识、知性逻辑（传统逻辑）、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化，即把形式逻辑当作思维方式。

悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义（内容）和表达方式（形式）、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。

扩展资料

悖论的延展：

稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺，曾经提出过一些著名的悖论，对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个。

阿基里斯是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。

方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题：在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量。一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S，速度分别为V1和V2。当时间T=S/（V1－V2）时，阿基里斯就赶上了乌龟。

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