《术数》与传统数学

内蒙古师范大学数学系 罗见今

中国传统数学在欧洲文艺复兴前的相当长的历史时期中创造了领先世界的光辉成就，但是，在随后的几个世纪，这样的状态却逐步发生了变化，到近代已明显超脱与所谓主流之外了。探讨数学史上这一重大问题时，不能不涉及到对传统数学的发展有重大影响的“术数”及其哲学思想背景。

术数又称数术（数为命运、气数，术为方法），指用种种方术观察自然或社会的现象，来推测国家或个人的气数和命运。《四库全书》说：“术数之兴，多在泰汉以后，其要旨不出于阴阳五行、生尅制化，实皆易之支派，傅以杂说耳。”早期术数包括天文、历谱、五行、蕃龟、杂占、形法；后世术数泛指特定应用技术，如星占、卜篮、六壬、奇门遁甲、命相、拆字、起课、堪舆、占候等，包含却超越数学所研究的范畴。南宋秦九韶在《数书九章》序中给数术下了一定义，包括了不少数学内容，也提到蕃占、河图、洛书、八卦、九畴、太乙、六壬、奇门遁甲等；本文就其中几点多少与数学相关的问题略抒浅见。

《左传》说：“龟，象也；筮，数也；物生而后有象，象而后有滋，滋而后有数。”殷商前原始的前兆预测发展到较完备阶段，形成了周代《易经》八卦六十四卦体系，它是我国最古老的一部占筮用书，为象数之宗，也是术数之鼻祖。《易经》记录了我们祖先对各种客观情况所作出的兆象和吉凶判断，反映了古人在同社会和自然界的斗争中，为了掌握其发展变化的规律而求助于卦象预示的主观思想；同时也直接或曲折反映了他们对客观事物的观察和认识，记载了他们实践活动的经验、感受和评价，表现了他们对周围世界进行抽象和概括的愿望，其中也包含了相当多的朴素唯物主义和历史辩证观点，更包含的古智者对宇宙根本规律的终极探讨。

《易经》是中国道学史哲学史上第一部经典著作，位居六经之首。从科学史的角度来看，它的内容含有古代天文、数学、音律、医理、生物等方面的知识；它的哲学体系对科学思想发展影响很大，所以在科学思想发展史上占有重要地位。

在中国数学史上，不少数学家都受到《易经》及玄学的熏淘，如三世纪大数学家刘徽说：‘‘古者包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情；作九九术，以合六交爻之变……于是建历纪、协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气，可得而效焉”。

又如十三世纪大数学家秦九韶说：“爰自河图、洛书，圃发秘奥，八卦、九畴，错综精微，极而至于大衍、皇极之用，而人事之变无不该，鬼神之情莫能隐矣。”提到术数的正史不乏其例。注意到上边引用的两段都是在一书的序言里作为总纲或指导思想提出的，因而在研究数学思想史时，周易术数是难以轻易带过的问题。

中国算术史上不少学者博通经史，对易学、数术普遍有研究。（旧题）汉徐岳撰的《数术记遗》，主要是数术著作。北周甄孪撰、唐李淳风注《五经算术》，以数理讲解经义，其中有《易策数法》的名目。宋沈括《梦溪笔谈》中讨论过揲蓍之法。由于程朱理学的推重，象数内容在宋以后数学书中俯拾皆是。清屈曾发《九数通考》十三卷卷首就指出：“(河)图（洛）书为数学之源”，……凡此种种，科学史研究无法回避，应予正视。

术数与象数神秘主义不是科学，其根源在于“伏羲黄帝老庄”数千年的修道实践造就的道文化土壤。在研究领域里术数与西方的数学有明显区别，但在历史上，它确曾处于举足轻重的地位，与天文、历法、数学相提并论。可以说，昔日之术数，犹今日之科学。

“数术者，皆明堂義和史卜之职也。”汉代除三公外最髙级别的官员禄两千石，其中就有“二千石博问术士”，遇到地震等灾变时，以备皇帝咨询。《史记》记载：“孝武帝时聚会占家问之：某日可取妇乎？五行家曰可，堪舆（按即风水）家曰不可。”看来他们有权在皇帝面前展开自由争论。光武帝更重用术士，提拔擅长图谶的王梁、孙咸作大司空、大司马的高官。魏晋以来，形成了等级森严的“九品中正制”，隋唐时代国子寺设研究纯数学的算学博士，品秩最低，为从九品；而在太常寺中却有太卜署，太医、太卜等术数家皆设博士。元代集贤院除管国子监外，还管道教阴阳术数，有阴阳教授之设。在不少封建帝王的眼中，操占卜、星相一类方术之士的地位，一般高于持筹的算家。

由于这些原因，术数著作在古籍中占相当比例。据《中国丛书总录》、《四库全书》及《販书偶记》的记载，我国现有传本古书共63853种，其中易类1514种占2.3%，历算类657种占1.03%。在图书分类中术数类与易类分开，数量亦相当可观。李约瑟说：“如果有一个汉学家兼通数学，那末，通过对隐晦难解的中国中世纪占卜术著作的探索，他在这方面是会大有收获的。”鉴于有关研究尚未展开，这番预言令人鼓舞。当然，这种工作带有披沙淘金的性质，要从浩如烟海的材料中汇总有价值的内容并非易举。

传统数学思想深深植根于古代文化之中，成为不可分割的组成部分，应当从古代思想文化的源流中去搞清它的来龙去脉；术数作为易学的支派，与传统数学并行，贯穿于整个古代文化史，它产生的影响不可忽视。恩格斯说：“我们必须重新进行艰苦的研究，才可以知道基督教最初是什么样子。”对术数的研究也应取这种态度。占星术之于天文，炼金术之于化学，数术之于数学，在人类历史上道学与科学相伴而生，甚至很大程度可以指导科学——这类现象值得深入研究，不能采取简单否定的态度。

那么，很自然地会产生这样的问题：数术对类西方的纯数学发展是否有促进作用？数术之中有无纯数学内容或类西方的数学思想的萌芽？

让我们先回顾古希腊时期。数学家们笃信宗教，认为天神掌管世上一切事务。毕达哥拉斯派宣称“万物皆数也”，把10看作理想的数，从而推论出移动的天体必定有10个。他们特别重视1，2，3，4这四个数，叫作tetractys(译作“四象”），而且1+2+3+4=10，似乎正满足了一种神学上审美的需要。他们创立了土、气、火、水四元素说，认为万物由四元素构成。柏拉图说：“祌永远按几何规律办事”，显然受到神学影响。

古希腊学者的数字神秘主义导致的一个结果，是使他们注意分析隐含干数本身的性质，从而发展起研究素数为中心的整数论；而在中国，易学象数系统却沿着另一条路线，把学者们引向分析数学(或元素）在空间（平面）上的相对位置关系，它们的排列、组合、对应、对称、旋转、反射等关系，从中寻找种种特殊的联系，给出合理的解释。

术数家的手段姑且不论，就纯数学而言，这确乎导向了组合论的领域，即令是原始的思想萌芽也罢。例如，现代组合学一本有影响的著作中把这门学科的起源归于一个古老记载：公元前2200年大禹路过洛水时，观察到水中浮出的乌龟背上的数字表——宋人称之为洛书。

在古希腊，柏拉图的学生亚里士多德将四元素说发展成一完整的体系，一如中国的五行说。他研究了土气火水四元素冷与热、干与湿、浮与重等性质，分析一般物体所含这四元素的比例，从而确定该物体的固体性、硬度、温度、粗糙性以及运动方式（浮沉等）。这样看来，四元素说侧重性质分析，五行说侧重位置所包含的意义。这种植根于哲学思想背景上的位置模式对于传统数学中的位值制、“方程”术、开方术、贾宪三角形、天元术、四元术等在平面上用算筹布算有何影响？这是值得进一步探讨的课题。

神奇的九宫图

在道学的、数术的著作中，我们确实可以发现古人在位置模式支配下所进行的配置的努力，它同样也可以得出很多数学成果。宋司马光（1039年进士）《潜虚》中十字形的“气图”，大体就是天地生成数图，或河图。他的“体图”、“性图”、“名图”分别呈三角形、方形与圆形。“体图”数字分十层，依次标明王、牧、公、岳、牧、率、侯、卿、大夫、士、庶人十等级。它的数字编码方式是我们在代数学里常遇到的，这种复式编码大概是世界上最早的记录。

我们再以洛书为例。现在它被称作3阶幻方，每行、每列和每条主对角线都有同样的和15，n阶幻方和为N/2（N²+1）。洛书“在整个历史上，对许多人将发挥强有力的魅惑：连最简单的算术都成了一件令人惊异的事情”。

幻方从一开始就被同超前和神奇的事物联系在一起，阿拉伯人al-Buni(？-1225)和欧洲人H.C.Agrippa(1533)的幻方著作都是如此，后者把幻方同占星术联系起来。在我国先秦文献《周易乾凿度》中说：“太乙取其数以行九宫，四正四维皆合于十五”，据此并参照郑玄注可以画成九宫图，其中七条虚线表示太乙神巡行九宫所依次序，八条实线表示“四正四维皆合于十五”。先秦两汉著作中关于河图、洛书、九宫、明堂、洪范九畴（刘歆以为洪范即洛书）的传说有不少记载，如果从“比较神话学”的角度进行分析，可以作出一种假设：古代巫人在龟甲或（龙）骨板上用火灼出窝槽，爆见吉祥之兆，有时这种窝槽的排列具有某种特殊的意义，令人惊异，于是成为世代相传的故事和神话。换而言之，河图洛书可能是原始时代骨卜的形象化、艺术化的名称。当然，“河洛”是中国文化史上一大问題，讨论很多。

《尚书•洪范》九畴的中心即为洛书，两汉盛行的图谶之学以河洛作占卜的依据，奇门遁甲也与九宫相关，这些易学所以流传千百年，笔者以为其中一个原因，是利用了九宫数令人惊异的数学性质。在历史上洛书进而变成了纯数学问题，宋杨辉（1275)即给出了3—10阶幻方，现代它仍然是组合学研究的课题，广义幻方、幻体、双随机矩阵等都由它推广而来，确乎是“易道广大，无所不包”了。

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